压缩感知作为现今对信号处理与统计学有着巨大影响的技术,利用了信号在不同域的稀疏性,打破了奈奎斯特准则的限制,通过设计合理的测量矩阵以极低的采样速率来采样信号,并能够以高概率来恢复原始信号[1-2],在图像处理、医疗成像、地质勘探、无线通信、雷达成像等众多领域都得到了应用。

针对现今的移动通信系统来说,通常在接收机一端,为了能够实现相干检测、解调、自适应空时解码等操作,就需要已知正确的信道状态信息,因此有效的信道估计显得非常重要。常见信道估计方法是通过在传输信息中插入导频信号来对信道状态信息进行估计,但是导频信号占用了传输带宽,使得系统的频带利用率降低。在无线通信技术飞速发展的现在,通信系统的频带资源显得更加重要,所以如何在保证有效的信道信息的前提下,尽可能地提高频带利用率成了许多学者的研究课题。在无线通信系统中,信道由于时延扩展造成的多径效应,往往呈现稀疏性,既多个路径中有效路径数量很小,在时域上是自然稀疏的。而传统的信道估计方法并没有考虑到信道自身的结构特性:稀疏性,造成了资源浪费。压缩感知理论的提出为信道估计技术提出了新的思路,如应用在OFDM系统[3]和超宽带UWB系统[4]中的信道估计。本文主要针对这两种通信系统,研究压缩感知技术在信道估计中的应用。

1   压缩感知技术

压缩感知技术的发展背景,最初是为了解决现实生活中数据采集端和数据处理设备格局之间的矛盾而提出的。日常应用中,数据采集端往往是便携设备,要求具备廉价、低功耗、易携带等特性,但是它所负责的任务却是高速的数据采集和压缩处理,对硬件来说要求很高。而数据处理端通常是计算能力很高的计算机来担任,而对应的数据恢复任务相对简单。这样的任务分配与设备的能力是矛盾的,于是就设想如果能够在采集端做简单的处理,低速的采样,而用大型高效的设备来处理相对复杂的数据恢复任务,那么对数据采集和处理领域将会有很大发展与推进。由此,既然传统的采集数据方法在采集之后要压缩掉其中存在的冗余数据,而这个压缩过程相对困难并且功耗较大,那么就想设计一种方式直接采集压缩后的数据,减轻数据采集设备的任务,同时还省去了压缩的额外消耗,从而将相对复杂的数据重建任务留给计算机来处理[5]。

压缩感知理论指出[2]:当信号在某个变换域上是稀疏或者有压缩的可能,就可以通过设计合适的测量矩阵将其投影在一个低维空间上,然后通过所获得的少量投影值,求解一个最优化问题来重构原始信号。这样采样速率会远远低于奈奎斯特采样率。假设有一个待压缩的实值、有限长的一维离散时间信号x,可以看做是一个RN空间上的N×1维的列向量x[n],n=1,2,…,N。RN中的任意一个元素都能由个数为N的一组标准正交基来表示,其中ψi是N×1的列向量。由这N个标准正交基能够组成一个N×N的基矩阵ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN],信号x可以表示为

          (1)

其中:s是N×1的加权系数向量。可以看出x和s是同一个信号在不同表示域上的表示,两者相互等价,如果向量s中只有K个较大的非零值,或者其他稀疏均是近似于0的极小值,且K□N,那么称信号x对于Ψ域来说是可压缩的。通过构造一个合适的测量矩阵,可以从信号x中选出M个大系数。接收端利用这M个样值,用重构算法能够以很大的概率重建原始信号,其中,M≥cKlog(N/K)(Restricted Isometry Property,RIP准则)且M□N,c是很小的常数[6]。M的值远小于N意味着要采样的数据很少,达到了降低数据采样速率的目的。M个测量值有表达式

                          (2)

其中:y是M×1的向量,其中的元素表示M测量值的大小;Φ为M×N的测量矩阵。接收端利用y的M个元素恢复原信号x的过程,实际上就是由式(2)组成的M个方程组,求解N个元素,显然这是一个方程组个数小于未知数个数的欠定方程组,也就是NP-Hard问题,所以x的解不唯一。压缩感知理论中重构的准则就是找出所有可能解中最稀疏的x,就是要求的原始信号。

常见的信号重建算法主要分为三类:

(1)凸松弛算法

将非凸问题转化为凸优化问题,也就是通过l1范数最小化找到信号的逼近表达,例如基追踪(Basis Pursuit BP)算法[6]。算法能够保证信号重构的准确性,但是计算量大,收敛速度慢,恢复效率较低。

(2)贪婪追踪算法

通过每次迭代时选择一个局部最优解来逐步逼近原始信号,例如匹配追踪算法(Matching Pursuit,MP)[7]、正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[8]。这种算法的恢复速率很高,计算复杂度也相对低,但只能保证信号高概率重构,鲁棒特性不强。

(3)组合算法

基本思想是一次迭代就能够获得多个投影系数，结合了前两种算法的优势，但是计算复杂度很高。（御风）